椭圆 - 圆锥曲线的一种 免费编辑 修改义项名

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，么战情负罗坏厂握眼其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与360百科平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥效儿温级美截面有很多相似之处：抛物线和妒迅方是了理滑须织逐双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面垂直于圆柱体轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个 常数。该比率称为椭圆轮的 偏心率。

也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的受击否看和是固定数。

椭圆在物理，天文和工程方面很常见。

平面内与两定点F₁、F的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆。 [1]

椭圆定义说明

椭圆定义说明

即:│PF₁│+│PF₂│=2a

(注意:

│F₁F₂于措提通王充林武体│=2c=2a时,它表示的利切械沙是一条线段

│F₁F₂│=2c<2a时,它表示的是一个椭圆方程

│F₁F负著理米乐连何两₂│=2c>2a时,它不表示任何图形)

其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两低虽写给焦点的距离│F₁F₂│=2c<2a叫做椭圆的焦距。P 为椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的 弦为 长轴，长为2a。

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为 短轴，长为2b。

平面内到定点F的距离与到定直线的距离初去故送久之黄内为九之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合(定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数) 其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的 准线(该定直线的方程是x=±晚果皇厚伤a^2/c[焦点在X轴上];或者y=±a^2/c[焦点在Y轴上])。

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实蒸上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为e²-1〈前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -(a²/b呀坏²)=1/（e²-1）〉话度跳序印陆征,可以得出：

在坐会双财验史每注牛标轴内，动点(x,y)到两定点(a,0)和(-a,0)的斜率乘积等于常数m(-1<m<0)。

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以x=±a无法取到，即该定义仅为去掉四则范厚乱宁游优争个点的椭圆。

平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况，还有K应满足<0且不等于-1。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

1、范围：焦点在x轴上-a≤x≤a -b≤y≤b；焦点在y轴上-b≤x≤b -a≤y≤a。

2、 对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、 顶点：(a，0) (-a，0) (0，b) (0，-b)。

4、离心率：e=c/a。(虽然b/a也能刻画椭圆的扁平程度,但是c/a中a,c是确定的圆锥曲线的基本量,不仅可以有效刻画两个学焦点离开中心的程度,而且还蕴含着圆锥曲线几何婷村孔直特征的统一性 )

5、离心率范围 0<e<1。

6、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆(当e越接近1时,椭入矛坚延圆越接近一条直线;当e越接近0时,椭圆越接近一条圆)。

7、 焦点 (当中心为原点时)（-c，0），（c，0）[椭圆躺着时]或（0，c），（0，-c）[椭圆站着时]。

8、x²/a²+y²/b²=1与x²/(任部叶氢章油居进笔凯ma)²+y²/(mb)²=1(a>b>0)(m为实数)为离心率相同的椭圆。

9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF₁（或PF₂语元求贵践）≤a+c。 

10、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

11、椭圆长轴,短轴,半焦距的关系:a²=b²+c²

设F₁、F₂为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且石A和B在直线上位于P的两侧交,∠APF₁=∠BPF₂。

设F₁、F2为椭圆C的两个焦乡点，P为C上任意一点。若直线AB为C在江宽语述迅成混载苏谈设P点的法线，则AB平分∠F₁PF₂。

上述两定理的证明可以查看参考资料。

解：设C:(凯乙逐杂左地排父它含(x^2)/(a^2))+((仅老经背叫照味升凯情以y^2)/(b^2))=1-----式1；

(a^2)-(b^2)=(c^2)；

F(₁-c,0)；F(c,0)；P(xp,yp)

AB:(y-yp)=k(x-迫圆缩别胡口振约间xp)=>y=kx+(yp-kxp);令m=yp-kxp=>AB:y=kx+m-----式害套房套间复台五2;

联立式1和式2消去y得:((k^2)+((b^2)/(a^2油)))(x^2)+2kmx乐热条待育意缩危降+((m^2)-(b^2))=0;

因为直线AB切椭圆C于点P，所以上式只有唯一解，则：

4((km)^2)-4((k^2)+((b^2)/(a^2)))((m^2)-(b^2))=0印晚=>m^2=((ak)^2)+(b^2);

m^2=(yp-kxp)^2速要器亲斗数=((yp)^2)+((kxp)^2)-2kxpyp=((ak)^2)+(b^2);

=>((a^2)-(xp^2))(k^2)+2xpypk+((燃b^2)-(yp^2));

由根的判别式得：4((xpyp)^2)-4((a^2)-(xp^2))((b^2)-(yp^2))=0;

所以k值有唯一解：k=(-2xpyp)/(2((a布额从量^2)-(xp^2菜案布右工局)))=-xpyp/((a^2)-(xp^2));

由式1得：(a^2)-(xp^2)=(ayp/b)^2=>k=-(xp(b^2))/(yp(a^2));

m=yp-kxp=(((ypa)^2)+((xpb)^2)定降抓负声刑利)/(yp(a^2))=((ab)^2)/(yp(a^2))=(b^2)/yp;

设A0F₁、B0F2分别过F₁、F2垂直AB于A0、B0；

A0F₁:(y-0)=坐批差作(-1/k)(x+c)=>x+ky+c=0-----式3；

联立式2和式3消去y得：x=-(km+苗鲁于营连降抗食罪角协c)/((k^2)+1);

联立式2和式3消去x得：y= (m-kc)/((k^2)+1);

则：A0:(-(km+c)/((k^2)+1),(m-kc)/((k^2)+1));

|A0F₁|^2=((m-kc)^2)/((k^2伯双渐大便加士但)+1));

同理：B0F2:(y-0)=(-1/k)(x-c);

=>B0科批宽资源套绍植:((c-km)/((k^2)+1),(m+kc)/((k^2)+1));

|B0F2|^2=((m+kc)^2)/((k^2)+1));

|PF₁|^2=((xp+c)^2)+(y标海剧p^2);

|PF2|丰^2=((xp-c)^2)+(yp^2);

证明:若∠APF₁=∠持态纪千BPF2，则直角三角形A0PF₁与直角三角形B0PF2相似；

=>|A0F₁|/|PF₁|=|B0F2|/|PF2|

=>(|A0F₁|百配侵错胶山庆她校镇^2)/(|PF₁|^住身2)=(|B0F2|^2)/(|PF2|^2)

=>(|PF2|^2)/(|PF₁|^2)=(|B0F2|^2)/(|A0F1|^2)

((m+kc)^2)/((m-kc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));-----式4

m+kc=(b^2)/yp-(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)-xpc)(b^2)/(yp(a^2));-----式5

m-kc=(b^2)/yp+(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)+xpc)(b^2)/(yp(a^2));----式6

把式5和式6代入式4得:

(((a^2)-xpc)^2)/(((a^2)+xpc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));

=>(((a^2)-xpc)^2)(((xp+c)^2)+(yp^2))=(((a^2)+xpc)^2)(((xp-c)^2)+(yp^2))

=>(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)+(((a^2)-xpc)^2)(yp^2)=(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)+(((a^2)+xpc)^2)(yp^2)

=>[(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)-(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)]=[(((a^2)+xpc)^2)-(((a^2)-xpc)^2)](yp^2)

=>[((a^2)-xpc)(xp+c)+((a^2)+xpc)(xp-c)][((a^2)-xpc)(xp+c)-((a^2)+xpc)(xp-c)]=4xpc(ayp)^2

=>(2(a^2)xp-2(c^2)xp)(2c(a^2)-2c(xp^2))=4xpc(ayp)^2

=>4xpc(b^2)((a^2)-(xp^2))=4xpc(ayp)^2

=>(b^2)((a^2)-(xp^2))=(ayp)^2

=>(ab)^2=((ayp)^2)+((bxp)^2)

=>((xp^2)/(a^2))+((yp^2)/(b^2))=1等式成立，∠APF₁=∠BPF₂得证

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的"标准"指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

F点在X轴

F点在X轴

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴:

1)焦点在X轴时，标准方程为:x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)

2)焦点在Y轴时，标准方程为:y²/a²+x/²b²=1 (a>b>0)

其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或 半长轴和 半短轴)当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*√(a²-b²)，焦距与长、短半轴的关系:b²=a²-c²， 准线方程是x=a²/c和x=-a²/c ，c为椭圆的半焦距。

又及:如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1(m>0，n>0，m≠n)。即

F点在Y轴

F点在Y轴

标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是:x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在(x0，y0)点的切线就是 :xx₀/a²+yy₀/b²=1。椭圆切线的斜率是:-b^2x0/a^2y0，这个可以通过很复杂的代数计算得到。

Ax²+By²+Cx+Dy+E=0(A>0，B>0，且A≠B)。

x=acosθ ， y=bsinθ。

(一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上)

r=a(1-e²)/(1-ecosθ)

(e为椭圆的离心率=c/a)

椭圆有一些光学性质:椭圆的面镜(以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;椭圆的 透镜(某些截面为椭圆)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜)，老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片(这些光学性质可以通过反证法证明)

S=π(圆周率)×a×b           (其中a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长)。

或S=π(圆周率)×A×B/4    (其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长)。

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

L = ∫[0，π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)&sup2;)dt≈2π√((a&sup2;+b&sup2;)/2) [椭圆近似周长]，其中a为椭圆长半轴，e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，(范围:大于0 小于1)

椭圆的准线方程 x=±a²/c

e=c/a(0<e<1)，因为2a>2c。离心率越大，椭圆越扁平;离心率越小，椭圆越接近于圆形。

椭圆的 焦准距:椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a²/c) 的距离为b²/c

焦点在x轴上:|PF₁|=a+ex |PF₂|=a-ex(F₁,F₂分别为左右焦点)

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

焦点在y轴上:|PF₁|=a-ey |PF₂|=a+ey(F₁,F₂分别为上下焦点)

椭圆的 通径:过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，即|AB|=2*(b²/a)

过椭圆上x²/a²+y²/b²=1上一点(x，y)的切线斜率为 -(b²)X/(a²)y

若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上，且第三个顶点在椭圆上

那么若∠F₁PF₂=θ，则S=(b²)tan(θ/2)。

K=ab/[(b²-a²)(cosθ)²+a²]^(3/2)

点M(x₀，y₀) 椭圆 x₀²/a+y₀²/b²=1

点与椭圆一下关系如下

点在椭圆内<=>x₀²/a²+y₀²/b²<1

点在椭圆上<=>x₀²/a²+y₀²/b²=1

点在椭圆外<=>x₀²/a²+y₀²/b²>1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m ①

x²/a²+y²/b²=1 ②

由①②可推出x²/a²+(kx+m)²/b²=1

由韦达定理可得

当△=0时,直线和椭圆只有一个交点,所以直线和椭圆相切

当△<0时,直线和椭圆无交点,所以直线和椭圆相离

当△>0时, 直线和椭圆相交,所以直线和椭圆有2个交点.此时两个交点之间的距离即为玄长.

可利用 弦长公式:设A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)

求中点坐标

根据韦达定理 x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a

带入直线方程可求出 y+y/2=可求出中点坐标。

|AB|=d = √(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂] = √[1+(1/k²)][(y₁+y₂)^2-4x₁x₂]

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为 三角函数问题求解

x=acosβ， y=bsinβ a为长轴长的一半

相关性质

由于平面截 圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种 圆锥曲线(也称圆锥截线)。

例如:有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义):

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F₁、F₂

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q₁、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q₁、Q2

则PF₁=PQ₁、PF₂=PQ₂，所以PF₁+PF₂=Q₁Q₂

由定义1知:截面是一个椭圆，且以F₁、F₂为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆

例:已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.

1.求椭圆C的方程.

2.直线l:y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.

3.在⑵的基础上求△AOB的面积.

一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义)，可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√(a^2-c^2)=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，

二 要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x₁=0,y₁=1,x₂=-1.5,y₂=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x₂-x₁](中括号表示绝对值)弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5)，

三 直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4,

Apollonius 所著的八册《圆锥曲线论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线;它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天辟地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

⑴画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。

⑵连接AC。

⑶以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。

⑷以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。

⑸作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。

⑹截取H，G对于O点的对称点H'，G' 

⑺分别以H、H′为圆心，AH、H′B为半径，画小圆弧IAI′,JBJ′，交GH、G′H、G′H′、GH＇延长线于I、I＇、J＇、J。

⑻以G、G′为圆心GC、G′D为半径，画大圆弧ICJ、I′DJ′。

用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点，此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：）使用细铜丝最好，因为线的 弹性较大画出来不一定准确。

椭圆的焦距│FF'│(Z)定义，为已知椭圆所构成的长轴X(ab)与短轴Y(cd)则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径画弧，从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距，求证公式为2√{(Z/2)^2+(Y/2)^2}+Z=X+Z(平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆)，可演变为z=√x^2-y^2(x>y>0)。

已知长轴与短轴尺寸，两焦点焦距尺规作图法

已知长轴与短轴尺寸，两焦点焦距尺规作图法

Z两端点F、F'为定点。取有韧性切伸缩系数越小越好的线，环绕线段AF'或者FB线段任意一组为长度，以该长度为固定三角形周长，以F、F' 为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆。

• 手绘方法三

环线长=AB+FA+FB。根据椭圆的图形特征，采用环线表示动点与焦点间的距离关系，形成统一的圆形环线作图法。具体方法简介：

（1）作图工具为笔、大头针、直尺和环形线。（环形线制作：取一段长度（30—50cm）和粗细适中弹性小的软线、一段8mm长细电线空塑料管，软线从塑料管中相向窜过，塑料管将软线夹紧，但用力可以抽动，形成能收缩和放长的环形线）。

（2）在作图平面上作出各种圆形的定点和动点。

（3）将大头针分别直立、固定在定点上；

（4）将符合长度的环形线套在大头针外，画笔由内向外拉直环线，通过调整环线的长度使笔尖刚好落在动点上；

（5）将画笔移动一周，即可作出各种圆的图形。

环线作图方法的最大特点，就是把圆形的动点与焦点间的距离关系以环线的方式联系起来，而不受焦点数目的影响，环线内可以容纳任意焦点数目，为探讨3个及其3个以上焦点数目的多焦点圆提供有效方法。环线作图方法，属于连续移动作图法，适合不同大小的圆、椭圆和 卵圆等作图。

若用该方法画规定半长轴a和半短轴b的椭圆

则

环线长

函数功能：该函数用于画一个椭圆，椭圆的中心是限定矩形的中心，使用当前画笔画椭圆，用当前的画刷填充椭圆

函数原型:BOOL Ellipse(HDC hdc,int nLeftRect,int nTopRect,nRightRect,int nBottomRect).

参数:

hdc:设备环境句柄。

nLeftRect:指定限定椭圆左上角的X坐标。

nTopRect:指定限定椭圆左上角的Y坐标。

nRightRect:指定限定椭圆右下角的X坐标。

nBottomRect:指定限定椭圆右下角的Y坐标。

返回值:如果函数调用成功，返回值非零;如果函数调用失败，返回值是0。

椭圆必须一条直径与X轴平行，另一条直径Y轴平行。不满足此条件的几何学椭圆在计算机图形学上视作一般封闭曲线。

椭圆有一些光学性质:椭圆的面镜(以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;椭圆的透镜(某些截面为椭圆)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜)，老花眼镜、 放大镜和远视眼镜都是这种镜片(这些光学性质可以通过反证法证明)