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1、微积分中求导公式，级数展开式的推导及应用（前几篇总结）

微积分中求导公式，级数展开式的推导及应用（彭彤彬）

本文简介：

下面的推导基于导数定义，求导法则，积分概念与法则，级数展开式的收敛等知识，得到了微积分中所有的求导公式，各基本函数的多项式展开式，并用来得出了一些无理数或超越数如带根号的数，对数值，e，π等精确值的表达式。

内容：

一、先是最简单的幂的导数公式推导：

指数为正整数时，直接用定义推导。

指数为负整数时，要依据商的导数公式推导。

若是正分数指数幂，则有要用复合函数的求导法则推导。

若是负分数指数幂，则有要用商的求导公式推导。

指数为包含无理数的实数时，则需用对数函数求导公式（推导见后），复合函数求导法则来推导。

以上是幂函数的求导公式的完整推导。

二、指数函数，对数函数，三角函数的求导公式的推导。按推导顺序一步步呈现如下。

由上面的推导可知e的重要性，没有e的定义，第一个不是多项式的自然对数的导数就求不出来，从而后面的导数公式的推导就不能进行下去。

有了e的定义后，虽说暂时我们不知道e的精确值是多少，但我们可以推出自然对数，以e为底数的指数函数的导数，见上。

由此，结合指数及对数的运算性质及复合函数求导法则，可得到任意指数函数与对数函数的求导公式。见下：

为进一步开展以后推导，我们需要先由三角形函数定义及有关知识，推导出一个重要的极限值：当自变量趋向于0时，正弦函数与其自变量比值的极限为1。

有了上述重要极限，我们用复数运算，求导，积分等基本定义和运算法则，就可推导出e的ix次方与cosx，sinx之间的关系式，从而得出几个重要常数0，1，i，e，π之间的著名关系式e的iπ次方与1的和为0。

具体过程见下：

有了上述关系式：

e＾（ix）＝cosx＋isinx，

我们就可用指数及运算表示三角函数，从而利用前面推出的指数函数求导法则，可推导出三角函数的求导公式。

具体见下：

可以看出，三角形函数求导公式简单明了。

三、下面是反正弦、反余弦、反正切的求导公式推导。

四、我们就想，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数它们能否表示成多项式的形式？若能，分别是什么样的？

我们先考虑以e为底数的指数函数分解成多项式，是个什么情况，能得到什么结论。

可以看出，e的x次方，展开成多项式形式时，含有无数多项和。

由此，令x＝1，我们得出了e的精确值表达式。

利用这个表达式，可以求出e的精确到小数后任意位的近似值。

例如：求e的近似值的误差估计

其中100！，200！值利用手机中的科学计算器算得。

由这个式子可知，e不能表示为一个分数形式（若将后部带省略号的一部分去掉，就可以通分变成一个分数即有理数，而这只是e的近似值），从而知它一定是一个无理数。

有了e＾x的多项式展开式，结合e＾x＝cosx＋isinx，马上就可以很容易推导出三角函数的多项式展开式。

见下：

对数函数的多项式展开式是什么？

幂函数的多项式展开式及应用求带根号数的值。

下面是反正弦、反余弦、反正切的级数展开式及应用来求圆周率π值的精确表达式。

2、幂函数求导（幂函数求导公式）

　　(x^a)'=ax^(a-1) 证明：y=x^a两边取对数lny=alnx两边对x求导(1/y)*y'=a/x所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1) y=a^x 两边同时取对数：lny=xlna两边同时对x求导数：==>y'/y=lna==>y'=ylna=a^xlna 拓展资料：幂函数：一般的，形如y=x(a为实数)的函数，即。

3、幂函数导数是什么？

　　y=x^a，两边取对数lny=alnx，两边对x求导（1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。
　　 幂函数是基本初等函数之一。
　　 一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
　　例如函数y=x0 、y=x1、y=x2。

4、幂函数求导

　　幂函数求导问题,非常着急, 设y=x^n次方,n为正整数,求y' 记f(x)=x^n f'(x。第一种方法,直接用公式 (x^n)'=nx^(n-1) 第二种方法 (f(x+Δx)-f(x))/Δx =(x+Δx)^n-x^n)/Δx =(n,1)x^(n-1)+(n,2)x^(n-2)Δx+。+Δx^(n-1) (用二项展开) (n,1)代表二项式系数 f'(x)=lim ((x+Δx)^n-x^n)/Δx Δx→0 =lim=(n,1)x^(n-1)+(n,2)x^(n-2)Δx+。.

5、幂指函数如何求导?

　　幂指函数的求导方法，即求y=f(x)^g(x)类型函数的导数。
　　 1、x^y=y^x方程类型 主要步骤是，通过公式a^b=e^(blna)变形后再对方程两边同时求导。
　　 2、z^x=y^z方程类型 主要步骤是，通过公式a^b=e^(blna)变形后再对方程两边同时对x求导，把y看做成常数。

6、幂函数导数的推导

　　幂函数f（x）＝x ^n，其导数为f＇（x）＝nx^（n－1），证明其导数利用导数定义f＇（x）＝lim△y／△x，（△x趋于0）。
　　 证法一：n为自然数 f＇（x）＝lim【（x＋△x）^n一x^n】／△x ＝lim｛（x^n＋Cn 1x^（n－1）△x＋Cn 2x^（n－2）△x^2＋…＋Cn n△x^n。

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