几种方法均来自人教版高中数学选修2-1，跪着看完的。
\begin{example}
在圆$x^2+y^2=4$上任取一点$P$，过点$P$作$x$轴的垂线段$PD$，$D$为垂足。当点$P$在圆上运动时线段$PD$的中点$M$的轨迹是什么？为什么？
\end{example}
\begin{example}
设点$A,B$的坐标分别为$(-5,0),(5,0)$。直线$AM,BM$相交于点$M$，且它们的斜率之积为$-\frac{4}{9}$，求点$M$的轨迹方程。
\end{example}
\begin{example}
点$M(x,y)$与定点$F(4,0)$的距离和它到直线$l:x=\frac{25}{4}$的距离的比是常数$\frac{4}{5}$，求点$M$的轨迹.
\end{example}
\begin{example}
圆$O$的半径为定长$r$，$A$是圆$O$内一个定点，$P$是圆上任意一点。线段$AP$的垂直平分线$l$和半径$OP$相交于点$Q$，当点$P$在圆上运动时，点$Q$的轨迹是什么？为什么？
\end{example}
\begin{example}
一动圆与圆$x^2+y^2+6x+5=0$外切，同时与圆$x^2+y^2-6x-91=0$内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
\end{example}
\begin{example}
如图，矩形$ABCD$中，$|AB|=8$，$|BC|=6$。$E,F,G,H$分别是矩形四条边的中点，$R,S,T$是线段$OF$的四等分点，$R',S',T'$是线段$CF$的四等分点。请证明直线$ER$与$GR'$、$ES$与$GS'$、$ET$与$GT'$的交点$L,M,N$都在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上。
\end{example}