数学建模的一般步骤

数学建模面临的实际问题是多种多样的,建模的目的不同,分析的方法不同,采用的数学工具不同,所得模型的类型也不同,我们归纳出若干条准则,适用于一切实际问题的数学建模方法.建模要经过哪些步骤并没有一定的模式,下面介绍的步骤是建模的一般过程,具有一定的普遍意义,如图6－1所示.

(一)问题分析

了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必要的信息如现象、数据等,尽量弄清对象的主要特征,通过深入调查研究,向实际工作者请教,或利用现有的网络资源等,尽可能掌握第一手资料.将现实问题“翻译”成抽象的数学问题,形成一个比较清晰的“问题”,“翻译”的过程是数学建模非常关键的一步,对于复杂的数学模型往往不能一步到位,需要对问题进行深入研究,在研究过程中不停地加深理解,明确目标,其实质是对实际问题的数学提炼.

(二)模型假设

根据前面对实际问题的研究,抓住问题的本质,忽略次要因素,做出必要的、合理的简化假设,确定模型所涉及的主要因素并抽象为变量,对于模型的成败这是非常重要和困难的一步.假设不合理或太简单,会导致模型过于粗糙,得出的结果是错误的或无用的;假设过于详细,试图把复杂对象的众多因素都考虑进去,会使模型建立者很难或无法继续下一步的工作.常常需要在合理与简化之间作出恰当的折中,这种恰当的折中需要模型建立者具有丰富的想象力、洞察力、判断力和足够的经验.有能力的模型建立者往往会在问题的研究过程中,不停地修正模型的假设,找到假设的平衡点,使其符合问题研究的本质.

(三)模型建立

依据模型的假设,用数学的语言、符号描述对象的内在规律,建立包含常量、变量等的数学模型,如优化模型、评价模型、微分方程模型、概率模型等.这里除了需要一些相关学科的专门知识外,还需要较为广阔的应用数学方面的知识.要理解数学运算的本质,任何一种数学计算方法,例如导数、积分,都需要应用者对其运算本质的理解,绝不是仅仅学会了计算,这对于数学建模者来说尤为重要.纯粹的计算也许在做一些纯粹的数学练习题时有一定的用处,但是在建模过程中,没有实际意义的计算是没有办法使用的,只有指导数学运算的本质,才能合理地使用这些数学运算方法.数学建模是变通的、灵活的,数学思想的应用才是其真正的灵魂.同时建模时还应遵循的一个原则是,尽量采用简单的数学工具,因为模型总是希望更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.

(四)模型求解

模型可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法,特别是数学软件进行求解.近年来计算机技术高速发展,数学软件和网络的功能日益强大,MATLAB、Lindo、Lingo等数学软件进入了高效的数学课堂,学生的计算机应用能力越来越强,对数学软件的接受能力也非常好.让学生从繁琐、精细的数学计算中走出来,着重于数学的应用,也是数学学习的一个方向.

(五)模型分析与检验

对求解结果进行数学上的分析,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等,是数学建模的重要组成部分.把求解和分析结果再“翻译”回到实际问题,与实际的现象、数据比较、检验模型的合理性和适用性.这对于模型是否真的有用非常关键,要以严肃认真的态度对待,如果结果与实际不符,问题常常出在模型假设上,应该修改、补充假设,重新建模,如图6－1所示中的虚线所示,有些模型经过几次反复,不断完善,直到检验结果满意.

(六)模型应用

数学模型是将现象加以归纳、抽象的产物,它源于现实,又高于现实,只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时,才可以用来指导实践.